De la forme canonique aux autres formes - Exemple 2

On souhaite déterminer la forme développée puis factorisée (si elle existe) de la fonction polynôme du second degré  \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par  `f(x) = 3(x + 2)^2 + 7` .

Forme développée
Il suffit de développer l'expression donnée.
Pour tout `x` dans `\mathbb R` , on a

`f(x) = 3(x + 2)^2 + 7 = 3(x^2 + 4 x + 4 ) + 7 = 3x ^2+ 12 x + 12 + 7 = 3x ^2+ 12 x + 19` .
On obtient bien la forme développée de la fonction  `f` avec   `a = 3` ,  `b= 12`  et  `c=19` .

Forme factorisée 
La forme canonique est la somme de deux termes strictement positifs. Cela implique que, pour tout `` `x` dans `\mathbb R` ,  `f(x)>0` . On en déduit que la fonction polynôme du second degré n'admet pas de racines réels et, a fortiori, pas de forme factorisée. 
Si on ne s'était pas aperçu de cela, on aurait pu tenter de résoudre l'équation `f(x)=0`  : le calcul du discriminant donne `\Delta = 12^2-4\times 3 \times 19=-84<0` . L'équation n'a pas de solutions réelles et la fonction `f` n'admet pas de forme factorisée.